MATEMATİK - KÜMELER

Küme Kavramı
Matematik denildi

ç

aras

de

ili
ğinde birçok insanın aklına ilk gelen şey sayılar ve sayıların toplanıp-ıkartılması, çarpılıp-bölünmesi gibi aritmetik işlemlerdir. Sayılar ve sayılarındaki işlemler, ilişkiler, matematik dünyasının önemli bir parçasıdır, ama bütünüğildir. Bugün sayı kavramıyla doğrudan ilişkisi olmayan nesnelerin birbirleriyleşkilerini düzenleyen kimi kurallar da sayılar dünyası kadar ilginç, tutarlı
matematiksel yap

kümeler kuram
ılar oluştururlar. Bu tür yapılar, bazen üst yapı olarak sayılar kuramı,ı, geometri gibi adlar, bazen de bu tür üst yapılar içinde alt yapı
olarak grup, halka, cisim, vektör uzay

Bir matematiksel yap

olu

sonuçlara da yap

önemli araçlardan biri küme kavram

ünitede küme kavram

A

sözlük anlam
ı, topolojik uzay, ölçüm uzayı gibi adlar alırlar.ı temel tanımlar, aksiyomlar ve onlardan çıkartılan sonuçlardanşur. Tanımlara, aksiyomlara yapının temel elemanları onlardan çıkartılanı elemanları diyebiliriz. Böyle bir yapıyı oluşturmada kullanılanı ve buna bağlı olarak küme işlemleridir. Buını ve küme işlemlerini tanıtmaya çalışacağız.şağıda ayrıntılı tanımı verilecek olan küme, aslında matematikte de dilimizdekiının ifadesiyle tanımlanabilir. Küme "nesneler topluluğu veya yığını"
olarak tan
ımlanan bir sözcüktür. Bu tanımdaki "nesne" soyut ya da somut bir
ş

Örne

"Masam

belirgin olduklar

her biri bir kümedir. Konu
eydir; fakat her ne olursa olsun iyi tanımlanmış olan bir şeyi, bir eşyayı ifade eder.ğin, "Tüm canlılar topluluğu", "Dilimiz abecesindeki harflerin topluluğu",ın üzerindeki kağıtlar yığını" tümcelerindeki nesnelerin anlaşılabilir,ı, kısaca iyi tanımlı oldukları açıktır. Dolayısiyle bu tümcelerinşma dilinde bu tümceler yerine daha çok eşanlamlı
olan, s

"Masam
ırasıyla, "Tüm canlılar kümesi", "Dilimiz abecesindeki harfler kümesi",ın üzerindeki kağıtlar kümesi" tümcelerini kullanırız. O halde, matematikte
"

yeterli olacakt

Küme kavram

Cantor'dan önce de, ad

yer örtülü bir

koyan matematikçidir. Bu sayede matematikte yepyeni ufuklar aç

her alan

matematik", "Klasik matematik" s

için böyle bir s

iyi bilirler.

Bu ünitede amac
İyi tanımlı nesnelerin bir topluluğuna küme denir" biçiminde bir tanımlamaır.ının matematiğe Georg Cantor (1845-1918) ile girdiği kabul edilir. Elbetteına küme denilmese de, matematikçiler bu kavramı yerşekilde kullanıyorlardı. Cantor, kümeler kuramının temellerini ortayaılmış ve matematiğinında kullanılmaya başlanmıştır. Bu gelişmeler matematikte "Modernınıflamasına yol açmıştır. Fakat bugün matematikınıflama yapmanın çok gerekli olmadığını matematiğe biraz ilgi duyanlarımız, bir problemin matematiksel modelinin kurulması, açıklanması
ve çözümünde oldukça yararl

küme i

ba

konuya ili
ı bir araç olarak kullanılabilecek küme kavramını,şlemlerini tanıtmaktır. Kümelerin derinlemesine ele alınması, incelenmesişlı başına bir konudur ve bu kitaptaki amacımızı aşan bir durumdur. Bu nedenle,şkin temel kavramları daha çok sezgiye dayalı olarak açıklamaya çalı-
KÜMELER VE KÜME İŞLEMLERİ

Termek, ifade etmek, aç

nedenle kümeler dilinde kullan

edelim:

Kümeleri A, B, C, X, Y, ... gibi büyük harfler ile onlar

küçük harfler ile göstermek gelenek haline gelmi

ile gösterirsek, E kümesinin ö

e ise E içinde olmayan bir ö

için Yunan harfi "

okunur) gösterimini kullanaca

simgesel olarak yaz

içinde de

önerme

100

Burada üç noktan

varl

Bir küme ya bütün ö

verilmesiyle belirlenir. Kümenin bütün ö
ıklamak hem kısalık için yararlıdır hem de kesinlik taşır. Buılan gösterimleri, simgeleri tanıtarak konuya devamın öğelerini de a, b, c, x, y, ... gibiştir. 2.2.2. Örnek (vi) deki kümeyi Eğeleri a, b, c, d, 3, 5, 7 dir. b, E kümesi içinde olan bir öğe,ğedir. Bir a öğesinin bir A kümesi içinde olduğunu belirtmek∈" den yararlanacağız ve kısaca "a ∈ A" (a eleman A diyeğız. "a ∈ A", "a öğesi A kümesi içindedir" önermesininılışıdır. "a ∈ A" önermesinin değili olan "a öğesi A kümesiğildir" önermesini de simgesel olarak "a∉A" biçiminde yazacağız. Bu"a eleman değil A" diye okunacaktır. 2.2.2. Örnek (iv) deki kümeyi B ile gösterirsek∈ B, 503 ∈ B, 999 ∈ B, ...; ancak 5 ∉ B, 83 ∉ B, 1000 ∉ B, ... olacaktır.ın anlamı B kümesi içinde olan ya da olmayan daha birçok sayınınığı anlamındadır.ğelerin tek tek yazılmasıyla ya da bütün öğeleri tanıtan bir özelliğinğeleri tek tek yazılabiliyorsa, bu öğeler
{ , }

yaz

kümeyi E ile gösterirsek, E =

bütün ö

göstermek üzere, A kümesi için "A, p özelli

deriz ve bu tümceyi

A =
ayraçlar içine yazılarak kümeyi belirleme yoluna gideriz. Bir kümenin bu biçimdeılabilmesine liste yöntemiyle yazılış denir. Sözgelişi, 2.2.2. Örnek (vi) deki{ a, b, c, d, 3, 5, 7 } olarak yazılır. Verilen bir A kümesininğelerini ortak bir p özelliği tanıtıyorsa, x ile A nın herhangi bir öğesiniğini sağlayan tüm x öğelerinin kümesidir"{ x | x öğesi p özelliğine sahiptir }
biçiminde yazar

anlam

öyleki x, p özelli
ız. Burada büyük ayraç içindeki "|" dik doğru parçasını "öyleki"ında kullanıyoruz. A kümesinin bu simgesel gösterimi "A, x öğelerinin kümesiğine sahiptir" biçiminde okunur. Bir kümenin bu biçimdeki yazılışına
ortak özellikle yaz

kümesi olsun (burada kalans

yöntemiyle yazamay

A =
ılış diyoruz. Örneğin A, 4 ile bölünebilen pozitif tamsayılarız olarak bölünmeden söz ediyoruz). A kümesini listeız; ama ortak özellikle{ x | x , 4 ile bölünebilen pozitif tamsayı }
biçiminde yaz

B ve C ile gösterecek olursak, bu kümelerin ortak özellikle yaz
ılabilir. Benzer olarak, 2.2.2. Örnek (i) ve (iv) deki kümeleri, sırasıyla,ılışları
B =
{ x | x yeryüzünde yaşayan bir canlıdır }
A =
{ x | x tamsayıdır ve 99 < x < 1000 dir }
olur. C kümesi liste yöntemiyle de yaz

C =
ılabilir. Bu biçimdeki yazılışı da şöyledir:{ 100, 101, 102, ..., 999 }
• C kümesinin son yaz
ılışında büyük ayraç içindeki üç nokta sayıların başladığı
gibi benzer olarak birer artarak 999 a kadar devam edece

• C kümesi hem ortak özellikle hem de liste yöntemiyle yaz
ğini gösterir.ılabildiği halde, B
kümesinin liste yöntemiyle yaz.

olur. Venn çizenekleri kümeler aras

Ancak, bunlar kan

Gerçel say

elde edilen do

biliyoruz. Bir say
ındaki ilişkileri açıklamak için çok yararlı araçlardır.ıtlama aracı olarak kullanılamazlar.ılar kümesi R nin öğeleriyle bir doğrunun noktalarını birebir karşılık getirerekğruya sayı doğrusu ya da gerçel eksen denildiğini Analiz derslerindenı doğrusu R kümesinin geometrik modelidir.
R
nin özel öneme sahip alt kümeleri aralıklardır. Geometrik olarak, bir aralık bir sayı
do
ğrusu üzerinde bir doğru parçası olarak tanımlanır. Sözgelimi, a < b için uç noktaları
a ve b olan, a dan b ye [a, b] ile gösterilen
kapalı aralık
[a, b] =
{ x | a ≤ x ≤ b }
kümesi olarak ve (a, b) aç

(a, b) =
ık aralığı da{ x | a < x < b }
kümesi olarak tan

b) aç

uç noktalar

A

ve adland

Kimi zaman

durumda
ımlanır. [a, b] kapalı aralığı uç noktaları a ve b yi bulundurur. (a,ık aralığı ise uç noktalar a ve b yi bulundurmaz. Aralık kavramı genişletilerek,ın durumuna göre, yarı-açık (ya da yarı-kapalı) ve sınırsız aralıklar tanımlanır.şağıdaki çizelge ile aralıkların gösterilişi, tanımlanışı, geometrik modeliırılışı verilmiştir:R nin kendisi de sınırsız bir açık aralık olarak düşünülebilir. Böyle birR = (-∞ , ∞) yazılır.
2.4. Küme
İşlemleri
Kümeler aras

tan
ında iki kümeye yeni bir küme karşılık getirme şeklinde birçok işlemımlanabilir. Bu kesimde, küme işlemlerinden